Tính chất của chuẩn cho phép ta xác định phép chia Euclid với các số nguyên Gauss:

Cho 2 số nguyên Gauss a và b, khi đó tồn tại các số nguyên q và r sao cho: a = b . q + r {\displaystyle a=b.q+r} với N(r)<N(b).

Ví dụ:

Cho các số nguyên Gauss: a = − 36 + 242 i {\displaystyle a=-36+242i} b = 50 i + 50 i {\displaystyle b=50i+50i} a b = 103 50 + 139 50 i {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {103}{50}}+{\frac {139}{50}}i} ,ta cần xác định số nguyên Gauss q gần với thương a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} nhất.Trong hình vẽ bên, trên mặt phẳng số phức, thương a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} được biểu thị bằng một chấm đen, nằm trong ô vuông độ dài đơn vị với 4 đỉnh là 4 số nguyên Gauss, ô vuông này được tô màu đỏ nâu nhạt. Do khoảng cách giữa điểm a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} và q không quá 1, giá trị của q chỉ có thể là số nguyên Gauss biểu thị bởi 4 đỉnh này.Ta vẽ 4 đường tròn bán kính đơn vị nhận 4 đỉnh trên làm tâm (các đường tròn này tô màu xanh nhạt). Nếu điểm a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} nằm trong đường tròn nào thì q có thể nhận giá trị tại tâm đường tròn đó.Nhìn vào hình vẽ ta thấy q chỉ nằm trong 3 đường tròn có tâm là điểm tô màu đỏ, và do đó có thể nhận một trong các giá trị bằng: 2 + 2 i {\displaystyle 2+2i} 2 + 3 i {\displaystyle 2+3i} 3 + 3 i {\displaystyle 3+3i}